地球大圓劣弧長(zhǎng)(球面兩點(diǎn)之間的球面最小距離`為什么是所在大圓的劣弧長(zhǎng))

1.球面兩點(diǎn)之間的球面最小距離`為什么是所在大圓的劣弧長(zhǎng)

首先，連接兩點(diǎn)有一弦，在球面上，自然是圓弧最短，我們不考慮走詭異路線的連線；因?yàn)橄沂且粯拥?，你可以推算出在同樣的弦上，半徑最大，所過(guò)的弧長(zhǎng)最短，可以證明（根據(jù)圓心角和半徑以及弦長(zhǎng)的關(guān)系）

證明：過(guò)在一個(gè)平面上的任意兩點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)圓。利用平面幾何的知識(shí)，可以很容易得出以下推論-在這些得到的圓中，如果半徑越大，這兩點(diǎn)所夾的圓弧長(zhǎng)度就越短；對(duì)于以這兩點(diǎn)間距離為直徑的圓，這兩點(diǎn)所夾的圓弧長(zhǎng)度達(dá)到最大。

過(guò)球面上任意兩點(diǎn)的圓弧都是在某個(gè)過(guò)這兩點(diǎn)的平面與該球切割出的圓上。在所有的可能存在的圓中，過(guò)這兩點(diǎn)且過(guò)球心的那個(gè)平面所能切割出的圓有最大的半徑（即球的半徑），根據(jù)上面的推論，該平面所切的圓弧長(zhǎng)度最短。

過(guò)在一個(gè)平面上的任意兩點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)圓。利用平面幾何的知識(shí)，可以很容易得出以下推論-在這些得到的圓中，如果半徑越大，這兩點(diǎn)所夾的圓弧長(zhǎng)度就越短；對(duì)于以這兩點(diǎn)間距離為直徑的圓，這兩點(diǎn)所夾的圓弧長(zhǎng)度達(dá)到最大。

2.為什么兩點(diǎn)間的球面距離指的是過(guò)兩點(diǎn)的大圓在兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度呢

因?yàn)閮牲c(diǎn)間點(diǎn)的軌跡是沿球面的弧線。

具體分析如下（教學(xué)課件截選）： 《球面距離》的教學(xué)設(shè)計(jì) □ 陳滿芝 六、教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì) 1.問(wèn)題情境，引入課題 1993年4月7日，中國(guó)東方航空公司的航班噴氣客機(jī)從上海飛往美國(guó)洛杉磯，因受到強(qiáng)氣流的影響，被迫在美國(guó)阿拉斯加阿留申群島的某空軍基地緊急降落。 經(jīng)過(guò)緊急處理，除60名傷員仍留在阿拉斯加的安克雷奇醫(yī)院中之外，其余173名旅客已于4月9日到達(dá)洛杉磯。

（多媒體演示飛機(jī)從上海起飛，在阿留申群島停留并繼續(xù)飛往洛杉磯的過(guò)程，并留下飛機(jī)的飛行路線） 2.新課教學(xué) 學(xué)生提問(wèn)：飛機(jī)為什么不沿直線飛行？ 師：讓學(xué)生在地球儀上找找這三個(gè)城市的位置。 （上海和洛杉磯都在北緯30o稍偏北的位置，上海的經(jīng)度在東經(jīng)120o梢偏東，洛杉磯的經(jīng)度為西經(jīng)120o稍偏西。）

師：從世界地圖上看似乎沿北緯30o的圓距離最近，可為什么從上海飛往美國(guó)洛杉磯的飛機(jī)會(huì)迫降在東北方向的阿拉斯加呢？這豈不是在繞遠(yuǎn)道嗎？ 生：飛機(jī)是在繞遠(yuǎn)道。 生：飛機(jī)沒(méi)有繞遠(yuǎn)道，因?yàn)檫@樣的話很浪費(fèi)燃料。

生：是受氣流的影響。 師：選擇航線的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ 生：行程盡可能短。

師：怎樣航線距離最短或盡可能短，這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上轉(zhuǎn)化成在地球上兩點(diǎn)間的最短距離的問(wèn)題。 師：復(fù)習(xí)七種距離：兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到平面的距離，異面直線間的距離，平行線間的距離，平行于平面的直線與平面間的距離，平行平面間的距離。

師：這七種距離的共同特點(diǎn)是什么？ 生歸納總結(jié)都是一條線段的長(zhǎng)，具有最小性、唯一性。 師：那么球面上兩點(diǎn)間的距離是否與前面的距離相同呢？ 3.動(dòng)手試驗(yàn)，探求未知 學(xué)生借助幾何畫(huà)板進(jìn)行試驗(yàn)：作出以線段AB為公共弦的若干個(gè)圓，并用畫(huà)板中的度量功能，分別得到這幾個(gè)圓中弦AB所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)。

學(xué)生猜想：以線段AB為公共弦的若干個(gè)圓中，半徑較大的圓，弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)較小。 由于這個(gè)命題的證明不是本節(jié)課的重點(diǎn)，于是讓有興趣的同學(xué)在課外去完成。

到此，球面距離的概念已呼之欲出，讓同學(xué)們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言陳述球面距離的定義。 4.球面距離的定義： 在球面上兩點(diǎn)之間的最短距離是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣?。ɑ虿怀^(guò)半圓?。┑拈L(zhǎng)度，這條弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)間的球面距離。

5.例題分類，尋求解法 ① 經(jīng)度相同緯度不同的兩地的球面距離 例1. 請(qǐng)估算北京與香港之間的球面距離 結(jié)論：緯度差的絕對(duì)值乘以地球的半徑。 ② 緯度相同經(jīng)度不同的兩地間的球面距離 例2.求上海到洛杉磯的距離。

例3.已知A地位于東經(jīng)40o，北緯45o，地位于東經(jīng)130o，北緯45o，求A,B兩地之間的球面距離 解：如圖所示，A、B都在北緯450圈上，所以∠AOO1=∠BOO1=450, AO1=BO1=Rsin450= ，又因?yàn)锳、B的經(jīng)度分別是東經(jīng)400、1300，所以經(jīng)度相差900，即∠AO1B=900，所以AB=R，球心角∠AOB= 弧度，所以A、B兩地的球面距離為 例4.已知地球上的兩地的位置分別是南緯45°和東經(jīng)135°、北緯45°和西經(jīng)135°，地球的半徑為R，求這兩地的球面距離. 解：東經(jīng)135°與西經(jīng)135°的經(jīng)度差是90°，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半大圓成直二面角. 設(shè)兩地分別為A,B，球心為O,OA=OB. OA,OB與軸線均成45°角，在赤道兩側(cè). ∠AOB=120o（過(guò)程略），弧長(zhǎng)是 ∴兩地的球面距離是 例5.某國(guó)際航空公司計(jì)劃開(kāi)通由杭州（東經(jīng)120o，北緯30o）至列寧格勒（東經(jīng)30o，北緯60o）的空中航線，請(qǐng)計(jì)算這兩座城市之間的航程（地球視為半徑為R=6370千米的球體，飛機(jī)飛行的高度忽略不計(jì)， ） 解：如圖所示，A、B分別表示杭州（東經(jīng)1200、北緯300）、列寧格勒（東經(jīng)300、北緯600）， 則∠AOO1=600,AO1= ,OO1= ， ∠BOO2=300,BO2= ,OO2= 又因?yàn)锳、B的經(jīng)度相差900,O1O2= – ， 所以點(diǎn)AO1、BO2是互相垂直的異面直線，由異面直線上兩點(diǎn)的距離公式得：AB2= AO12+ BO22+ O1O22=(2- )R2，由余弦定理：cos∠AOB= ，根據(jù)條件cos1。 137= ，因此A、B所對(duì)應(yīng)的球心角∠AOB =1。

137弧度，所以A、B兩地的球面距離為1。137*6370=7243（千米）。

答：這兩座城市之間的航程約為7243千米。 小結(jié)：計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是先求出過(guò)此兩點(diǎn)的大圓的劣弧所對(duì)的圓心角（球心角），根據(jù)弧長(zhǎng)即可求出劣弧長(zhǎng)，亦即這兩點(diǎn)的球面距離。

5.能力檢測(cè) 練習(xí)1。球的直徑是20cm，球面上有A,B兩點(diǎn)，它們之間的直線距離是10cm，則球面上A,B兩點(diǎn)之間的距離的（ ） A。

10cmB。10л D。

6.課題小結(jié)，交流體驗(yàn) 由同學(xué)們小結(jié)，可從體驗(yàn)，方法和球面距離的具體求法進(jìn)行小結(jié)。 。